美术课上，老师给同学们布置了一道题目：“△”，这好像是在考验同学们的想象力。可是，同学们全都蒙住了：
“三角形？三角形怎么画啊！”
“就是，三角形是什么题目啊？！”
“管他呢，在纸上花好几个三角形不就得了！至于吗。”
“怎么不至于？这很可能是期中测验！”
“哼！离暑假还有几周，这时候期中测验，你脑子进水啦！”
“吭吭！同学们，请安静。这个三角形是在考验大家的想象力，这是区里艺术家所出的题。”老师为同学们“解说”。
“区里艺术家？！题目？！限制我们的思想啊！”还有好多同学想要插上一嘴，都被老师“恶狠狠”目光憋回去了。
有的同学低头作画，胳膊肘支撑着整个上身，手搭在脖颈上，时不时地挠挠头；有的同学环顾教室四周，双手交叉着托住下巴，抿着下嘴唇，在教室里寻找灵感；有的同学手放到桌子下面，下巴搁在桌子上，手中的彩笔不停地在纸上舞动着；有的同学背倚着后面的桌子，鼻孔朝天，嘴微微张开，双手放在桌子上。在这么热的教室里，同学们汗流浃背大汗淋漓挥汗如雨汗如雨下满头大汗地作画。
„„
一节课转眼就完事了，同学们的画也差不多都画好了。课代表把作业都收上来，交给美术老师。老师回到了办公室里，坐下来，静静地翻阅着同学们的美术作业。翻着翻着，老师不仅大吃一惊，这么简单的一个题目，居然有人把它当做积木，当做无底洞。
让我们来看看他们的作业吧。看看这一张画子：这一张纸上画了无数个立体图形，三角形，圆形，梯形„„就用这么几个图形，构成了一幅城墙：万里长城。看来这幅画的作者是个学素描的孩子，让这几个图形在纸上栩栩如生。
后面一张，有一个三角形，里面套着好多好多三角形，越来越小，越来越小，这让我们好像掉进了一个无底洞。
„„
孩子们的想象力真丰富啊！
作文二：《关于三角形的作文700字》700字关于三角形的作文７００字
美术课上，老师给同学们布置了一道题目：“△”，这好像是在考验同学们的想象力。可是，同学们全都蒙住了：
“三角形？三角形怎么画啊！”
“就是，三角形是什么题目啊？！”
“管他呢，在纸上花好几个三角形不就得了！至于吗。”
“怎么不至于？这很可能是期中测验！”
“哼！离暑假还有几周，这时候期中测验，你脑子进水啦！”
“吭吭！同学们，请安静。这个三角形是在考验大家的想象力，这是区里艺术家所出的题。”老师为同学们“解说”。
“区里艺术家？！题目？！限制我们的思想啊！”还有好多同学想要插上一嘴，都被老师“恶狠狠”目光憋回去了。
有的同学低头作画，胳膊肘支撑着整个上身，手搭在脖颈上，时不时地挠挠头；有的同学环顾教室四周，双手交叉着托住下巴，抿着下嘴唇，在教室里寻找灵感；有的同学手放到桌子下面，下巴搁在桌子上，手中的彩笔不停地在纸上舞动着；有的同学背倚着后面的桌子，鼻孔朝天，嘴微微张开，双手放在桌子上。在这么热的教室里，同学们汗流浃背大汗淋漓挥汗如雨汗如雨下满头大汗地作画。
……
一节课转眼就完事了，同学们的画也差不多都画好了。课代表把作业都收上来，交给美术老师。老师回到了办公室里，坐下来，静静地翻阅着同学们的美术作业。翻着翻着，老师不仅大吃一惊，这么简单的一个题目，居然有人把它当做积木，当做无底洞。
让我们来看看他们的作业吧。看看这一张画子：这一张纸上画了无数个立体图形，三角形，圆形，梯形……就．９９ｏ．用这么几个图形，构成了一幅城墙：万里长城。看来这幅画的作者是个学素描的孩子，让这几个图形在纸上栩栩如生。
后面一张，有一个三角形，里面套着好多好多三角形，越来越小，越来越小，这让我们好像掉进了一个无底洞。
……
孩子们的想象力真丰富啊！
作文三：《§3.1 关于三角形的基本知识》1900字§３．１ 关于三角形的基本知识
一．判断题：
１．长为３ｃｍ，５ｃｍ，６ｃｍ的三条线段首尾顺次相接可以构成三角形； 是等边三角形；
（ ） （ ）
２．三角形按边分类的定义可以分为三类：一类是不等边三角形，一类是等腰三角形，还有一类３．等腰三角形的腰长大于底边长； （ ） ４．直角三角形的斜边大于直角边； （ ） ５．三条线段ａ，ｂ，ｃ， 如果ａ＞ｂ＞ｃ且ｃ＋ｂ＞ａ，那么这三条线段一定可以组成三角形．（ ）
二．选择题：
６．三角形的一个外角小于和它相邻的内角，这个三角形 （ ）
（Ａ）是锐角三角形 （Ｂ）是钝角三角形 （Ｃ）是直角三角形 （Ｄ）不存在 ７．在一个三角形中的三的外角中，至少有（ ）个钝角．
（Ａ）０ （Ｂ） １ （Ｃ） ２ （Ｄ） ３
８．如果三角形三边长分别为ｍ－１，ｍ，ｍ＋１（ｍ为正数），那么ｍ的取值范围是 （ ）
（Ａ）ｍ＞２ （Ｂ）ｍ＞－２ （Ｃ）０ｂ＞ｃ，且满足下列哪个条件时，线段ａ、ｂ、ｃ一定能组成三角形？ （ ） （Ａ）ａ－ｂｃ （Ｄ）ｂ＋ｃ＝ａ
１０．△ＡＢＣ中， ∠Ａ＝α， ∠Ｂ和∠Ｃ的平分线的所交的锐角为 （ ）
（Ａ）９０＋
α
（Ｂ）９０ － （Ｃ）９０ ± （Ｄ）９０ －α ２２２
αα
１１． 等腰三角形底边长５厘米，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其差为３厘米，则腰长为 （ ） （Ａ）２ｃｍ （Ｂ）８ｃｍ （Ｃ）２ｃｍ或８ｃｍ （Ｄ） ３ｃｍ １２． 三角形的外角具有的一个性质是 （ ） （Ａ）三角形的一个外角等于两个内角的和 （Ｂ）三角形的一个外角大于它的一个内角
（Ｃ）三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角 （Ｄ）三角形的一个外角小于两个内角的和
１３．一个三角形至少有 （ ） （Ａ）一个锐角 （Ｂ）两个锐角 （Ｃ）一个直角 （Ｄ）一个钝角 １４．锐角三角形中的两个锐角的和必大于 （ ） （Ａ）１２０° （Ｂ）１１０° （Ｃ）１００° （Ｄ）９０°
三．填空题：
１５．如图，ＡＭ是△ＡＢＣ的中线，ＡＣ＝３，ＡＢ＝４，那么△和△ＡＭＣ的周长的差是 ；
１６．三角形有条中线；
１７．如果三角形有高线在三角形外，这个三角形是
１８．三角形中至少有个锐角．
１９．如图，Ｄ是△ＡＢＣ的边ＢＣ延长线上一点，ＤＦ⊥ＡＢ于Ｆ，交ＡＣ于Ｅ，∠Ａ＝４０°， ∠Ｄ ＝２５°，则∠ＥＣＤ＝ 度，∠ＡＥＤ＝ 度．
四．解答题：
Ｃ
２０．如图所示，已知ＣＦ⊥ＡＢ，∠Ａ＝４０°，∠Ｂ∶∠Ｄ ＝３∶２， 求∠ＡＣＤ的度数．
２１．如图，Ｄ、Ｅ是△ＡＢＣ内两点，求证： ＡＢ＋ＡＣ＞ＢＤ＋ＤＥ＋ＥＣ．
２２．已知：在∠ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ的平分线相交于Ｏ点．求证：∠ＢＯＣ＝ ９０°＋１∠Ａ．
２
２３．已知：如图，ＡＦ、ＡＤ分别是∠ＡＢＣ的高和角平分线，且∠Ｂ＝４００，∠Ｃ ＝８００，求∠ＤＡＦ度数．
２４．已知：如图，点Ｄ、Ｅ分别在ＢＣ、ＡＣ上，ＤＡ、ＢＥ相交于Ｆ．求证：∠ＡＦＢ ＝∠１＋∠２＋∠Ｃ．
Ａ
Ｂ
Ｄ
１
ＥＣ
２５． 已知：如图，△ＡＢＣ中，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＣＤ平分∠ＡＣＥ，∠Ａ＝７０°．求：∠Ｄ的度数．
２６． 已知：∠Ｃ＞∠Ｂ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＥ⊥ＢＣ于Ｅ．
求证：∠ＤＡＥ＝
１
２
（∠Ｃ －∠Ｂ）．
作文四：《关于三角形的全部公式》500字勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。ｃ＾２＝ａ＾２＋ｂ＾２ ． 正弦定理：
ａ／ｓｉｎＡ＝ｂ／ｓｉｎＢ＝ｃ／ｓｉｎＣ＝２Ｒ （Ｒ是外接圆的半径）
余弦定理：
ａ＾２＝ｂ＾２＋ｃ＾２－２ｂｃｃｏｓＡ
ｂ＾２＝ａ＾２＋ｃ＾２－２ａｃｃｏｓＢ
ｃ＾２＝ａ＾２＋ｂ＾２－２ａｂｃｏｓＣ
面积公式：
１．海伦公式△ＡＢＣ中三边为ａ，ｂ，ｃ。 ｐ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２．
Ｓ（ａｂｃ）＝√［ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ）］即已知三角形三边求面积的海伦公式。
２．已知三角形底ａ，高ｈ，则Ｓ＝ａｈ／２
３．已知三角形两边ａ，ｂ，这两边夹角Ｃ，则Ｓ＝ａｂｓｉｎＣ／２
４．设三角形三边分别为ａ、ｂ、ｃ，内切圆半径为ｒ
则三角形面积＝（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ／２
５．设三角形三边分别为ａ、ｂ、ｃ，外接圆半径为ｒ
则三角形面积＝ａｂｃ／４ｒ
６．已知三角形三边ａ、ｂ、ｃ，则Ｓ＝ √｛１／４［ｃ＾２ａ＾２－（（ｃ＾２＋ａ＾２－ｂ＾２）／２）＾２］｝
７．三阶行列式求面积
｜ ａ ｂ １ ｜
Ｓ△＝１／２ ＊ ｜ ｃ ｄ １ ｜
｜ ｅ ｆ １ ｜
（注意上式最后取绝对值。）
｜ ａ ｂ １ ｜
｜ ｃ ｄ １ ｜
｜ ｅ ｆ １ ｜
为三阶行列式，直角坐标系内坐标Ａ（ａ，ｂ），Ｂ（ｃ，ｄ）， Ｃ（ｅ，ｆ）。
三角形的周长： Ｌ＝ａ＋ｂ＋ｃ
三角形内角和公式： ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°。
作文五：《关于三角形的费马点》2100字一、费马点的由来
费马（Ｐｉｅｒｒｅ ｄｅ Ｆｅｒｍａｔ，１６０１—１６６５）是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好． 然而，在１７世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承１７世纪数论天地的人． 一代数学大师费马堪称是１７世纪法国最伟大的数学家． 尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者３５８年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在△ＡＢＣ内求一点Ｐ，使 ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ之值为最小，人们称这个点为“费马点”．
二、探索费马点
１． 当三角形有一个内角大于或等于１２０°的时候，则费马点就是这个内角的顶点．
下面来验证这个结论： 如图１，对三角形内任意一点Ｐ，延长ＢＡ至点Ｃ′，使得ＡＣ′＝ＡＣ，作∠Ｃ′ＡＰ′＝∠ＣＡＰ，并且使得ＡＰ′＝ＡＰ． 即把△ＡＰＣ以Ａ为中心做旋转变换．
则△ＡＰＣ≌△ＡＰ′Ｃ′，
∵∠ＢＡＣ≥１２０°，∴∠ＰＡＰ′≤６０°．
∴在等腰三角形ＰＡＰ′中，ＡＰ≥ＰＰ′，
∴ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ≥ＰＰ′＋ＰＢ＋ Ｐ′Ｃ′＞ＢＣ′＝ＡＢ＋ＡＣ． 所以Ａ是费马点．
２． 如果三个内角都在１２０°以内，那么，费马点就是三角
形内与三角形三顶点的连线两两夹角为１２０°的点．
如图２，以Ｂ点为中心，将△ＡＰＢ旋转６０°到△Ｃ′ＢＰ′． 因为旋转６０°，且ＰＢ＝Ｐ′Ｂ，所以△Ｐ′ＰＢ为正三角形． 因此，ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＝Ｐ′Ｃ′＋Ｐ′Ｐ＋ＰＣ．
由此可知当Ｃ′，Ｐ′，Ｐ，Ｃ四点共线时，ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＝ Ｐ′Ｃ′＋Ｐ′Ｐ＋ＰＣ为最小．
当Ｃ′，Ｐ′，Ｐ共线时，∵∠ＢＰ′Ｐ＝６０°，∴∠Ｃ′Ｐ′Ｂ＝∠ＡＰＢ＝１２０°．
同理，若Ｐ′，Ｐ，Ｃ共线时，则∵∠ＢＰＰ′＝６０°，
∴∠ＢＰＣ＝１２０°．
所以点Ｐ为满足∠ＡＰＢ＝∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＡ＝１２０°的点．
三、费马点的简单应用
近几年，在全国各地的中考中，时常可以看见费马点的影子．
例１（２００９浙江湖州） 若Ｐ为△ＡＢＣ所在平面上一点，且∠ＡＰＢ＝∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＡ＝１２０°，则点Ｐ叫做△ＡＢＣ的费马点．
（１）若点Ｐ为锐角△ＡＢＣ的费马点，且∠ＡＢＣ＝６０°，ＰＡ＝３，ＰＣ＝４，则ＰＢ的值为＿＿＿＿＿＿＿＿；
（２）如图３，在锐角△ＡＢＣ外侧作等边△ＡＣＢ，连结ＢＢ′．求证：ＢＢ′过△ＡＢＣ的费马点Ｐ，且ＢＢ′＝ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ．
解：（１）∵∠ＰＢＡ＋∠ＰＢＣ＝∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ＝６０°，∴∠ＰＢＡ＝∠ＰＣＢ．
又∠ＡＰＢ＝∠ＢＰＣ＝１２０°，
∴△ＰＢＡ∽△ＰＣＢ，则ＰＢ２＝ＰＡ×ＰＣ＝１２，
即ＰＢ＝２．
（２）证明：在ＢＢ′上取点Ｐ，使∠ＢＰＣ＝１２０°，连结ＡＰ，再在ＰＢ′上截取ＰＥ＝ＰＣ，连结ＣＥ．
∵ＰＣ＝ＣＥ，ＡＣ＝ＣＢ′，∠ＰＣＡ＝∠ＥＣＢ′，
∴△ＡＣＰ≌△Ｂ′ＣＥ．
∴∠ＡＰＣ＝∠Ｂ′ＥＣ＝１２０°，ＰＡ＝ＥＢ′．
∴∠ＡＰＢ＝∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＣ＝１２０°，
∴Ｐ为△ＡＢＣ的费马点，且ＢＢ′＝ＥＢ′＋ＰＢ＋ＰＥ＝ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ．
例２ （２００９北京） 如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，△ＡＢＣ三个点的坐标分别为Ａ（－６，０），Ｂ（６，０），
Ｃ（０，４），延长ＡＣ到点Ｄ，使ＣＤ＝ＡＣ，过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＢ，交ＢＣ的延长线于点Ｅ．
（１）求Ｄ点的坐标；
（２）作Ｃ点关于直线ＤＥ的对称点Ｆ，分别连结ＤＦ，ＥＦ，若过Ｂ点的直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ将四边形ＣＤＦＥ分成周长相等的两
个四边形，试确定此直线的解析式；
（３）设Ｇ为ｙ轴上一点，点Ｐ从直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与ｙ轴的交点出发，先沿ｙ轴到达Ｇ点，再沿ＧＡ到达Ａ点，若Ｐ点在ｙ轴上运动的速度是它在直线ＧＡ上运动速度的２倍，试确定Ｇ点的位置，使Ｐ点按照上述要求到达Ａ点所用的时间最短．（要求：简述确定Ｇ点位置的方法，但不要求证明）
本题第三问要求：简述确定Ｇ点位置的方法，但不要求证明．如果不知原理，比较难找，用常规数学的方法，会涉及到一元二次方程的判别式的问题，并不容易想到．而用费马点的知识就能轻松找出这个Ｇ点．
由于直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与ｙ轴的交点坐标在第二问当中可求出Ｍ（０，６），所以，本题第三问便可以转化为：ＡＯ⊥ＯＭ于点Ｏ，ＡＯ＝６，ＭＯ＝６，Ｇ点从Ｍ出发，向Ｏ点运动到达Ｇ点后，再沿ＧＡ到达Ａ点．若Ｇ点在ＭＯ上运动的速度是它在ＧＡ上运动速度的２倍，试确定Ｇ点的位置．（如图５，Ｇ点按照上述要求到达Ａ点所用的时间为ｔ）
解法一： 方程解法
设ＧＯ＝ｘ，则ＭＧ＝６－ｘ，ＡＧ＝，
则ｔ＝＋，
移项平方得：３ｘ２＋（１２－４ｔ）ｘ
＋３６＋２４ｔ－４ｔ２＝０，
∵方程有解，
Δ＝（１２－４ｔ）２－１２（３６＋２４ｔ－４ｔ２）≥０？圯ｔ≥６，
将ｔ＝６代回方程，求出ｘ＝２时，ｔ最小．
解法二：费马点解法
如图６，要使＋ＡＧ最小，即使ＭＧ＋２ＡＧ最小．
作Ａ关于ＭＯ的对称点Ａ＇，
则ＭＧ＋２ＡＧ＝ＭＧ＋ＡＧ＋Ａ＇Ｇ，
即ＭＧ＋ＡＧ＋Ａ＇Ｇ最小．故Ｇ为△ＡＡ＇Ｍ的费尔马点．作∠ＧＡＯ＝３０°，交ＭＯ于Ｇ点，则∠ＡＧＭ＝∠Ａ＇ＧＭ＝∠ＡＧ Ａ＇＝１２０°，故Ｇ点为所求． ＯＧ＝２．
由此利用费马点的解法可以看出：
当动点Ｇ在ＯＭ上的运动速度是在ＡＧ上的２倍的时候，动点的位置与ＭＯ的长度无关，与ＡＯ的长度有关，ＧＯ长是ＡＯ长的倍．
作文六：《关于三角形的一些概念》1300字教学目标 ：
（１）使学生理解三角形、三角形的边、顶点、内角的概念；
（２）正确理解三角形的角平分线、中线、高这三个概念的含义、联系及区别；
（３）能正确地画出一个三角形的角平分线、中线和高；
（４）能用符号规范地表示一个三角形及六个元素；
（５）通过对三角形有关概念的教学，提高学生对概念的辨析能力和画图能力；
（６）让学生结合具体形象叙述定义，训练他们的语言表达能力，激发学生学习几何的兴趣。．
教学重点：明确组成三角形的六个元素，正确理解三角形的“高”、“角平分线”和“中线”这三个概念的含义、联系和区别。
教学难点 ：三角形高的画法
教学用具：三角板、投影、微机
教学方法：启发探究法
教学过程 ：
１、温故知新，揭示课题
引言之后，先让学生：
（１）试说出三角形以及三角形的边、顶点、角的概念
（２）如图１：试画出 的平分线、ＢＣ边上的中线、ＢＣ边上的高
然后，在此基础上，揭示课题，提出思考题：三角形是由三条线段组成的，这里要强调“首尾顺次相接”为什么要加上这个条件？具备什么条件的线段才是三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高。
２、运用反例，揭示内涵
由上面分析，让学生判断辨别下列图２中哪一个是正确的？（对第三个图）直角三角形只有一条高对吗？
３、讨论归纳，深化定义
引导启发学生，归纳讨论探索得到的结果：
定义１ 三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
强调：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。
定义２ 三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段。
强调：三角形中线是一条线段。
定义３ 三角形的高：从三角形的一个顶点向它对边画垂线，顶点和垂足间的线段。
强调：三角形的高是线段，而垂线是直线。
这一环节运用电教手段，利用动画的功能，增加直观性有利于学生理解掌握定义
４、符号表示，加深理解
通过符号的表述，使学生对三角形的角平分线、中线、高的理解得到加深和强化，在记忆上也趋于简化。
５、初步运用，反复辨析
练习的设计遵循由由浅入深、循序渐进的原则，三个题目，三个层次：
题１ 三角形的一条高是（ ）
Ａ．直线 Ｂ．射线 Ｃ．垂线 ．Ｄ．垂线段
题２ 画钝角三角形 的高ＡＥ。
题３
先让学生思考练习，然后师生一起分析纠正，最后教师点拨小结。这环节运用电教手段，以增大教学容量和直观性，提高效率。
６、归纳总结，强化思想
这节课着重讲了三角形的角平分线、中线和高，在集会理解上述定义时，必须注意到两点：一是三条都是线段；二是钝角三角形与直角三角形的高的画法。
揭示了文字语言、图形语言、符号语言在几何中的作用，要求在学习时熟练三种语言的相互转化。
７、布置作业 ，题目是：
（１）书面作业 Ｐ３０＃２，３ Ｐ４１＃５（做在书上）
（２）交本作业 Ｐ４１＃４
（３）思考题１：
思考题２：
探究活动
１、以３根火柴为边，可以组成一个三角形，用６根火柴为边最多可以组成几个三角形？９根火柴最多能组成几个三角形？
２、从三角形一个顶角引出的三角形角平分线、一条中线能否重合？此时这个三角形的形状如何？
答案：１．４、７；
２．能．三角形为等腰三角形．
作文七：《关于三角形的难题》500字三角形趣味思考难题
１． 如图，在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，∠ＢＡＤ＝４０°，Ｅ是ＡＣ上一点，ＡＤ＝ＡＥ，求∠ＥＤＣ的度数。
２． 如图，点Ｃ在线段ＡＢ上，ＤＡ⊥ＡＢ，ＥＢ⊥ＡＢ，ＦＣ⊥ＡＢ，且ＤＡ＝ＢＣ，ＥＢ＝ＡＣ，ＦＣ＝ＡＢ，∠ＡＦＢ＝５１°，求∠ＤＦＥ的度数
．
３． 如图，三角形ＡＢＣ中，角平分线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ相交于点Ｈ，过点Ｈ作ＨＧ垂直于ＡＣ垂足为Ｇ，那么∠ＡＨＥ等于∠ＣＨＧ吗？为什么？
４． 如图，△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ的中点，ＤＥ⊥ＤＦ，试判断ＢＥ ＋ ＣＦ。与ＥＦ的大小关系，并证明你的结论
．
５． 如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０°，ＡＤ、ＣＥ分别平分∠ＢＡＣ、∠ＡＣＢ，求证：
ＡＣ＝ＡＥ＋ＣＤ．
６． 设三角形为ＡＢＣ，ＣＤ、ＢＥ分别是角平分线，且ＣＤ＝ＢＥ证明：ＡＢＣ是等腰三角形？
（如果一个三角形两个角的角平分线相等，试证明这个三角形为等腰三角形
．）
７． 已知三角形ＡＢＣ，ＡＤ为ＢＣ边上的中线，Ｅ为ＡＣ上一点，ＡＤ、ＢＥ交于点Ｆ，且ＡＥ＝ＥＦ，请问ＢＦ＝ＡＣ吗？
８． 如图，已知ＡＢ＝ＣＤ＝ＡＥ＝ＢＣ＋ＤＥ＝２，∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＤ＝９０°，求五边形ＡＢＣＤＥ的面积。
作文八：《关于三角形的习题》1600字一、专心填一填。（２０分）
１、三角形的内角和是（ ）°，一个等腰三角形，它的一个底角是２６°，它的顶角是（ ）。
２、长５厘米，８厘米，（ ）厘米的三根小棒不能围成一个三角形。 ３、三角形具有（ ）性。
４、一个三角形中有一个角是４５°，另一个角是它的２倍，第三个角是（ ），这是一个（ ）三角形。
５、按角的大小，三角形可以分为（ ）三角形、（ ）三角形、（ ）三角形。 ６、在三角形中，∠１＝３０°，∠２＝７０°，∠３＝（ ）°，它是（ ）三角形。 ７、有（ ）组对边平行的四边形是平行四边形。
８、在一个直角三角形中，有一个角是３０°，另两个角分别是（ ）°、（ ）°。 ９、长方形正方形是特殊的（ ）形。
１０、将一个大三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是（ ）度。 １１、三角形的两个内角之和是８５°，这个三角形是（ ）三角形，另一个角是（ ）度。 １２、一个等边三角形的边长是９厘米，它的周长是（ ）厘米。 １３、下图中有（ ）角
二、细心判一判（对的打“√”，错的打“×”）。（每空１分，共计１２分） １、等边三角形的每一个内角都是６０º。 （ ）
２、等边三角形是特殊的等腰三角形。 （ ）
３、有一组对边平行的四边形叫做梯形。 （ ） ４、直角三角形的两个锐角之和大于直角。 （ ） ５、用三根不一样长的小棒一定能围成一个三角形。 （ ） ６、有一个角是钝角的三角形一定是钝角三角形。 （ ）
７、等腰三角形中有锐角三角形，也有直角三角形和钝角三角形。 （ ） ８、一个锐角三角形的三个内角分别是５６°、７０°、６４° （ ）
９、一个三角形有两条边都是４厘米，第三条边一定大于４厘米。 （ ）
１０、两个完全一样的三角形，可以拼成一个平行四边形。 （ ）
１１、把一个三角形中一个２０°的锐角截去，剩下图形的内角和是１６０°。 （ ） １２、一个等腰三角形中，有一个角是６０°，这个三角形一定是等边三角形。（ ） 三、精心选一选（将正确答案的序号填在括号里）。（每空１．５分，共计１８分） １、三角形的高有（ ）条。 Ａ、１ Ｂ、３ Ｃ、无数
２、所有的等边三角形都是（ ）三角形。 Ａ、钝角 Ｂ、锐角 Ｃ、直角
３、把一个等边三角形平均分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐
角分别是（ ）
Ａ、３０°和６０° Ｂ、４５°和４５° Ｃ、６０°和６０° ４、一个三角形至少有（ ）个锐角。
Ａ、１ Ｂ、２ Ｃ、３
５、一个三角形中，最多有（ ）个直角。 Ａ、１ Ｂ、２ Ｃ、３
６、一条红领巾，它的顶角是１００º，它的一个底角是（ ）度。 Ａ、１００ Ｂ、８０ Ｃ、４０
７、把一个１０°的角先扩大６倍后，再用６倍的放大镜来看，看到的角是（ ） Ａ、１０° Ｂ、６０° Ｃ、１２０° Ｄ、３６０°
８、一个三角形的两条边分别是４０厘米、５０厘米，第三条边的长度只能选（ ） Ａ、８０厘米 Ｂ、９０厘米 Ｃ、１１０厘米
９、下面说法，正确的是（ ） Ａ、等腰三角形都是等边三角形 Ｂ、等边三角形都是等腰三角形 Ｃ、等腰三角形都是锐角三角形。
１０、如果一个三角形中，一个角是另一个角的２倍，那么这个三角形一定不是（ ）三角形。
Ａ、等边 Ｂ、等腰 Ｃ、等腰直角
１１、直角三角形的内角和（ ）锐角三角形的内角和。 Ａ、等于 Ｂ、小于 Ｃ、大于
１２、下面分别是三角形的三条边长度，不能围成三角形的是（ ）。
Ａ、１ｃｍ、２ｃｍ、３ｃｍ Ｂ、２ｃｍ、３ｃｍ、４ｃｍ Ｃ、５ｃｍ、６ｃｍ、７ｃｍ ．
２、画一笔，使下面的图形形成一个三角形和一个梯形。（４分） 五、按要求求角的度数。（２５分） １、在一个直角三角形中。（６分）
（１）一个锐角是７８º，另一个锐角是多少度？ （２）如果两个锐角相等，这两个锐角各是多少度？ 六、解决问题（１５分）
１、一个等腰三角形的底边是３厘米，周长为３７厘米。它的一条腰是多少？（５
分）
５、妈妈给淘气买了一个等腰三角形的风筝。它的顶角是４０°，它的一个底角是多少？（４分）
作文九：《关于三角形的内切椭圆》3400字２０００年第８期 中学数学月刊 ２３
关于三角形的内切椭圆
周建伟 （苏州大学数学系 ２１５００６）
杜 娟 （南通师范学院 ２２６０００）
本文利用欧氏平面上的仿射变换研究三角形的内切椭圆的各种性质．我们知道，仿射变换是欧氏变换的重要推广，它既包含了平移旋转反射等欧氏变换，也包含了相似、压缩等变换．有关仿射变换的性质见［１］或［２］．首先我们证明
定理１ 如图１，△ＡＢＣ外切于一椭圆，切点分别是Ｄ，Ｅ，Ｆ，则三线段ＡＥ，ＣＤ，ＢＦ交于一点．
证明 利用仿
图１
射变换把图１中椭圆变成图２中圆，这时椭圆外切△ＡＢＣ变成圆的外切△Ａ′Ｂ′Ｃ′，切点分别变成Ｄ′，Ｅ′，Ｆ′．从仿射变换的性质知道，ＡＥ，ＣＤ，ＢＦ交于一点的充要条件是Ａ′
Ｅ′，Ｃ′Ｄ′，Ｂ′Ｆ′交于一点．在△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，Ａ′Ｄ′＝Ａ′Ｆ′，Ｂ′Ｄ′＝Ｂ′Ｅ′，Ｃ′Ｅ′＝Ｃ′Ｆ′．利用
Ｃｅｖａ定理，从
Ａ′Ｄ′Ｂ′Ｅ′Ｃ′Ｆ′
Ｄ′Ｂ′Ｅ′Ｃ′Ｆ′Ａ′
＝１
知道Ａ′Ｅ′，Ｃ′Ｄ′，Ｂ′Ｆ′交于一点，所以ＡＥ，ＣＤ，ＢＦ也交于一点．仿射变换在把圆变成椭圆的同时，把圆心变成椭圆内一点，这一点具有圆心类似的性质：过这一点的所
图２
有弦以该点为中点，这点叫椭圆的中心．过椭圆中心的直线称为椭圆的直径．利用仿射变
换，容易知道椭圆的平行弦的中点轨迹是直径．如果图１中Ｅ是ＢＣ的中点，经过仿射变换（图２），Ｅ′也是Ｂ′′Ｃ的中点，易见，这时
△Ａ′Ｂ′Ｃ′中Ａ′Ｂ′＝Ａ′Ｃ′，Ｄ′Ｆ′平行于Ｂ′Ｃ′．
所以Ｇ′Ｅ′过圆心，从而是圆的直径，Ａ′Ｅ′也是圆的平行于Ｂ′Ｃ′的弦的中点轨迹．这证明了．
定理２ 如果△ＡＢＣ外切于椭圆，ＢＣ上切点Ｅ是ＢＣ的中点，则平行于ＢＣ的椭圆的弦的中点在ＡＥ上，ＧＥ是椭圆的一条直径．
进一步，如果图１中Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是△ＡＢＣ三边的中点，则△Ａ′Ｂ′Ｃ′一定是等边三角形．这时图２中Ｏ′是△Ａ′Ｂ′Ｃ′的内切圆圆心，这证明了：
定理３ 如果△ＡＢＣ的内切椭圆的切点分别是三边上的中点，则椭圆的中心就是△ＡＢＣ的重心．容易知道，对任意△ＡＢＣ，定理３中内切于三边上的中点的椭圆总是存在的．下面的定理是一般情况．
定理４ 设Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是△ＡＢＣ的三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ上的内点，如果三线段ＡＥ，ＣＤ，ＢＦ交于一点，则存在△ＡＢＣ的内切椭圆，使得切点分别是Ｄ，Ｅ，Ｆ．
证明 设三线段ＡＥ，ＣＤ，ＢＦ交于一
点，由Ｃｅｖａ定理
ＡＤＢＥＣＦ
ＤＢ
ＥＣＦＡ＝１．作线段
Ａ′Ｂ′＝ＡＢ，Ｂ′Ｃ′＝ＢＤＢＣ
ＢＥ
，Ａ′Ｃ′
＝ＡＤＡＣ
ＡＦ
．利用比例关系可以作出Ｄ′，Ｅ′，Ｆ′，可以验证
Ａ′Ｆ′＝Ａ′Ｃ′
ＡＦ
ＡＣ＝ＡＤ＝Ａ′Ｄ′，Ｂ′Ｅ′＝Ｂ′Ｃ′ＢＥ
ＢＣ＝ＢＤ＝Ｂ′Ｄ′，
Ｅ′′Ｃ＝Ｂ′′Ｃ
ＥＣ
＝ＢＤＥＣＢＣＢＥ＝ＡＤＣＦＦＡ＝Ａ′Ｄ′Ｃ′Ｆ′
Ｆ′′Ａ＝Ｃ′Ｆ′．
这也证明了三线段Ａ′Ｂ′，Ｂ′Ｃ′，Ａ′Ｃ′能够构成三角形．在△Ａ′Ｂ′Ｃ′中作内切圆，利用反证法可以证明这一圆的切点分别是Ｄ′，
Ｅ′，Ｆ′．利用仿射变换把△Ａ′Ｂ′Ｃ′变成
△ＡＢＣ，△Ａ′Ｂ′Ｃ′的内切圆变为△ＡＢＣ的内切椭圆，此内切椭圆的切点分别是Ｄ，Ｅ，Ｆ．
定理１与定理４可以合并成：
设Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是△ＡＢＣ的三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ上的内点，则存在内切于△ＡＢＣ的椭圆，且切点分别是Ｄ，Ｅ，Ｆ的充要条件是三线段ＡＥ，ＣＤ，ＢＦ交于一点．
下面继续定理３的讨论，考虑三角形内切椭圆的中心与三角形的关系．
定理５ 对于三角形内一点Ｏ，存在以Ｏ为中心而内切于三角形的椭圆的充要条件是，点Ｏ在三角形的三条中位线所围成三角形的内部．
为叙述方便，我们把三角形的三条中位线所围成三角形叫中位三角形．三角形的中位三角形在仿射变换下变成中位三角形，定理５中的必要性只需对圆证明，即证明下面的引理．
引理１ 三角形的内切圆的圆心在三角形的中位三角形的内部．
证明 如图３，△ＡＢＣ的内切
图３
圆的圆心是Ｏ，设Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是△ＡＢＣ的三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ上的中点．ＡＯ与ＤＦ，ＢＣ分别交于Ｎ，Ｍ，点Ｏ是△ＡＢＣ的角平分线的交点，有
ＡＢＢＭ＝ＡＯＯＭ＝ＡＣ
ＭＣ
，根据合分比定理
ＡＢ＋ＡＣＢＣ＝ＡＯ
ＯＭ
．从ＡＢ＋ＡＣ＞ＢＣ可知ＡＯ＞ＯＭ．ＤＦ
是三角形的一条中位线，ＡＮ＝ＮＭ，这证明了点Ｏ在线段ＤＦ与ＢＣ之间．同理可证，Ｏ
在线段ＤＥ与ＡＣ之间．也在ＥＦ与ＡＢ之
间，引理６得证．
容易看出，对于三角形内一点Ｏ，存在以
Ｏ为中心而内切于三角形的椭圆的充要条件
是：存在仿射变换，使得Ｏ变成三角形的角平分线的交点．我们先证明下面的引理２．
引理２ 设Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是△ＡＢＣ的三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ上的点，ＡＥ，ＢＦ，ＣＤ交于
△ＡＢＣ内点Ｏ．试证存在仿射变换Υ，使得线段ＡＥ，ＢＦ，ＣＤ分别变成三角形的角平分线的充要条件是三正数ＡＦ，ＡＤＦＣＤＢ
，１中任两数之
和大于第三数．这时存在△ＡＢＣ的内切椭圆，椭圆的中心是Ｏ．
证明 设Ｂ′Ｃ′＝ＢＣ，由Ａ′Ｂ′Ａ′Ｆ′
ＢＣ＝Ｆ′Ｃ′
＝
ＡＦＦＣ，Ａ′Ｃ′ＢＣ＝Ａ′Ｄ′Ｄ′Ｂ′＝ＡＤ
ＤＢ可以作出Ａ′Ｂ′，Ａ′Ｃ′．三线段Ｂ′Ｃ′＝ＢＣ，Ａ′Ｂ′＝ＢＣＡＦ
ＦＣ
，Ａ′Ｃ′＝ＢＣ
ＡＤ
ＤＢ
构成三角形的充要条件是三正数ＡＦＦＣ，ＡＤＤＢ
，１中任两数之和大于第三数．利用比例关系可以作出Ｄ′，Ｅ′，Ｆ′，并且可以验证．
Ａ′Ｂ′ＡＤＢＢＥＡ′Ｃ′＝Ｆ
ＦＣ
ＡＤ＝ＥＣ＝Ｂ′Ｅ′
Ｅ′Ｃ′
，其中用到Ｃｅｖａ定理，所以Ａ′Ｅ′是∠Ｂ′
Ａ′Ｃ′的角平分线．同理，Ｂ′Ｆ′，Ｃ′Ｄ′分别是三
角形另外两角的平分线．△Ａ′Ｂ′Ｃ′的内切圆的圆心是Ａ′Ｅ′，Ｂ′Ｆ′，Ｃ′Ｄ′
的交点Ｏ′．把△ＡＢＣ变成△Ａ′Ｂ′Ｃ′的仿射变换将Ｏ变成△Ａ′Ｂ′Ｃ′的角平分线的交点Ｏ′．
要完成定理５的证明只要再证下面的引理３．
引理３ 设Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是△ＡＢＣ的三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ上的点，ＡＥ，ＢＦ，ＣＤ交于△ＡＢＣ的内点Ｏ．如果Ｏ在△ＡＢＣ的中位三角形的内部，则ＡＦＦＣ，ＡＤ
ＤＢ
，１中任两数之和大于第三数．
（下转第３４页）
Ｒ且ｙ≠０，借助于复数的代数运算并结合条件得：关于ｘ，ｙ的混合组
２
２
（３）
ｘ＋ｙ＝６，ｙ＝ｘ＋ｍ＞０
应有实数解．
至此，若不能灵活地选择方法，则极易半途而废．据直觉洞察有：
选择１ 实根分布法
从（３）式中消去ｙ，讨论关于ｘ的一元二次方程有大于－ｍ的根；或从（３）式中消去ｘ，讨论关于ｙ的一元二次方程有正根．
选择２ 数形结合法
只要讨论圆ｘ２
＋ｙ２
＝６和直线ｙ＝ｘ＝ｍ在ｘ轴上方有公共点即可．据图可知：－６
选择３ 三角换元法
据ｘ２＋ｙ２＝６且ｙ＞０可令ｘ＝６
ｃｏｓΥ
，ｙ＝６ｓｉｎΥ，０
３ｓｉｎ（Υ－Π
４）∈（－６，２３］．
（上接第２４页）
证明 首先证明ＡＤ
ＡＦ
ＤＢ
＋
ＦＣ＞１．从Ｃｅｖａ定理可得ＡＦＡＤ
ＢＥＡＤＡＦＣ＝ＤＢＥＣ，于是ＤＢ＋Ｆ
ＦＣ＝ＡＤＡＤＢＥＢＣ
ＤＢ＋ＤＢＥＣ＝ＡＤ
ＤＢ
ＥＣ
．对△ＡＢＥ及直线ＣＤ应用Ｍｅｎｅｌａｕｓ定
理得
ＡＤ
ＢＣＤＢ
ＣＥ＝ＡＯ
ＥＯ
，点Ｏ在△ＡＢＣ的中位三角形的内部，ＡＯ
ＯＥ＞１，即有
ＡＤＡＦＡＤＢＣＡＯ
ＤＢ＋ＦＣ＝ＤＢＥＣ＝ＯＥ
＞１．其次证明
ＡＦＦＣ＋１＞ＡＤ
ＤＢ
．对△ＡＢＦ及直线ＣＤ应用Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理得ＡＤＢＯＡＣ
ＤＢＯＦ＝
ＦＣ
＝ＡＦＦＣ＋１，点Ｏ在△ＡＢＣ的中位三角形的内部，ＢＯＯＦ
＞１，
即有三种选择是直觉引路的结果，且不难看出方法２，３是良好直觉选择能力的体现．直觉力较强的同学必能看出方法１给逻辑推演带来了诸多麻烦，他们即使选择此法也必然采用消去ｘ的办法进行逻辑论述．
总之，直觉选择已渗透于解题过程的每个环节．在代数中，研究变化状态下变量间的关系，要选择确当的自变量；在几何中，解答问题应力求选择最佳的逻辑通道；在解析几何中，用解析法研究几何图形的性质，要选择合理的坐标系……这一切成功的选择，不是逻辑所能胜任的，都是要依靠直觉来完成选择！
参考文献
１ 刘云章，马 复．数学直觉与发现．安徽教育出版
社，１９９１．
２ 任子朝．高考数学能力考查与题型设计．高等教
育出版社，１９９８．
ＡＦ
ＦＣ
＋１＞
ＡＤ
ＤＢ
．同理可证
ＡＤＤＢ＋１＞
ＡＦ
图４
ＦＣ
．引理得证．即定理５得证．
利用仿射变换可以研究椭圆的其他性
质，也可以研究抛物线或双曲线．
参考文献
１ 梅向明，刘增贤，林向岩．高等几何．高等教育出
版社，１９８３．
２ 周建伟．高等几何．苏州大学出版社，２０００．
作文十：《关于三角形的一些概念》3200字关于三角形的一些概念
一．教学目标
１． 认知目标
（１）理解与三角形相关的一些概念。 （２）理解三角形的几条重要线段。 ２． 能力目标
（１） 利用三角形的三线与三角形的关系解题。
二． 教材重点，难点分析
本节重点对三角形及相关概念的准确理解难点在三角形角平分线的理解及钝角三
角形（即有一个内角为钝角的三角形）夹钝角的两边上的高的作法。
关于三角形的角平分线是一条线段；较以往普通角平分线而言，初学才一时难以适应、理解．掌握不好，就对以后运用产生影响．而夹钝角的两条边上的高，初学者往往无从下手，认为不存在．要注意到从顶点向对边引垂线，垂足不一定落在边上，可能落在延长线上。
关于中线，结合三角形面积公式可得如下结论．中线将三角形分成的两个三角形面积相等。
三．核心知识分析
１．什么叫三角形
由三条不在同一直线上的线段首尾相接所形成的封闭图形． ２．与三角形相关的一些概念
（１）边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，一个三角形有三条边． （２）顶点：相邻两边的公共端点叫三角形的顶点，共有三个顶点． （３）内角：相邻两边的夹角叫三角形的内角．简答为三角形的角．共有三个内角夹内角的两边外，第三条边称为该内角的对边，该角称为第三条边的对角．
（４）外角：三角形的一个内角的邻补角称为三角形的外角（或由一边及另一边的延长线组成的角）．三角形每一个内角均有两个外角，它们互为对顶角． ３．三角形的几条重要线段
三角形重要线段为：三条角平分线、三条中线和三条高．
（１）角平分线：三角形角平分线是指三角形一个内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段叫三角形的角平分线．
三角形的角平分线与普通意义上的角平分线虽有着平分角共性，但有着本质上的区别：普通角平分线是一条射线，而二角形的角平分线是一条角的顶点与对边交点间的连线段．角平分线共三条，通过准确作图观察发现：这三条角平分线交于一点．
（２）三角形的中线：三角形的顶点与对边中点的连线段．共三条中线，也交于一点． （３）三角形的高：由三角形的一个面点向对边作垂线，顶点与垂足间的连线段叫三角形的高．共三条．高也交于一点．
１
图１ 图
２
图３ 图
４
图５ 图６ ４．三角形的记法与读法：三角形可用符号“△”后写三个顶点，如图３．１－１记作△ＡＢＣ，读作“三角形ＡＢＣ”，边也可用小写字母表示，如图３．１－１，∠Ａ的对边可记为ａ．
本节为三角形起始内容，许多后面相关知识点尚不能运用，故而通常以高所在位置判断三角形内角状况（是否存在钝角、直角等）．结合中线求线段长，中线结合面积公式求面积．命题以判断、选择填空为多见．
四．教学过程
例１ 已知△ＡＢＣ，画出△ＡＢＣ的角平分线ＢＤ．
分析 画△ＡＢＣ的角平分线ＢＤ，可知是画线段ＢＤ，满足（１）平分∠ＡＢＣ，（２）Ｄ点在边ＡＣ上．
解 （１）量得∠ＡＢＣ＝６０°
１
（２）计算∠ＡＢＣ＝３０°．
２
（３）用量角器∠ＣＢＤ＝３０° ＢＣ交ＡＣ于Ｄ，ＢＤ为所求△ＡＢＣ角平分线
ＢＤ．
图７
例２ 在上例图中（图７）共有几个三角形，分别写出∠Ａ，∠Ｃ的所有对边及ＢＤ、
２
ＡＢ对角．
分析 粗看有两个三角形，而易忽略△ＡＢＣ本身．∠Ａ在不同的三角形中对边不同，其余边、角也有类似情况出现．
解 图中共有三个三角形，即△ＡＢＣ、△ＡＢＤ、△ＢＣＤ，在△ＡＢＣ中，∠Ａ的对边为ＢＣ，在△ＡＢＤ中，∠Ａ的对边为ＢＤ，△ＡＢＣ中，∠Ｃ的对边为ＡＢ，△ＢＣＤ中∠Ｃ的对边为ＢＤ．
△ＡＢＤ中，ＢＤ对角为∠Ａ， △ＢＤＣ中，ＢＤ对角为∠Ｃ． △ＡＢＣ中，ＡＢ对角为∠Ｃ，△ＡＢＤ中，ＡＢ对角为∠ＡＤＢ． 例３ △ＡＢＣ中，∠Ａ＞９０°，下图（图８）为某同学作的ＡＣ边上的高ＡＤ，是否正确？为什么？若不对，请你作出符号条件的高
．
图８
分析 ＡＣ边上的高应由ＡＣ所对的顶点Ｂ向ＡＣ作垂线，而不是只保证垂直ＡＣ就足够的．
解 此作图不正确，因为ＡＣ边的高应由是Ｂ点向ＡＣ作垂线，而不是过Ａ点作．正确作出的适合条件的高应为图中线段ＢＥ．（ＢＥ⊥ＡＣ交ＣＡ延长线于Ｅ．）
例４ ＡＤ为△ＡＢＣ的中线（如图９），求△ＡＢＣ与△ＡＢＤ的面积比Ｓ△ＡＢＣ∶Ｓ△
ＡＢＤ
．
图９
１
ＢＣ．而△ＡＢＣ、△ＡＢＤ、△ＡＤＣ的边ＢＣ，ＢＤ，２
ＣＤ的高为一条ＡＥ，可通过面积公式算出比，本题思路上充分利用等高的两个三角形面积比等于底的比．
解 作ＡＥ⊥ＢＣ于Ｅ．
１
∵ＢＤ＝ＤＣ＝ＢＣ．
２
１１
∴Ｓ△ＡＢＣ∶Ｓ△ＡＢＤ＝（ＢＣ·ＡＥ）∶（ＢＤ·ＡＥ）＝２∶１
２２
例５ 如图１０，△ＡＢＣ的三条高ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ交于形内一点Ｇ，则图中直角三角形（有一个内角为直角的三角形）共有多少个？
分析 ＡＤ为中线，那么ＢＤ＝ＤＣ＝
３
图１０
分析 初次涉及此类问题，由于大小直角三角形重叠较多，很易重复或遗漏，为避免此类情形出现，可利用逐一数点排除法来数清其中三角形数．
选以点Ａ为顶点，顺次数出含点Ａ的直角三角形：△ＡＢＤ、△ＡＢＥ、△ＡＣＤ、△ＡＣＦ、△ＡＥＧ、△ＡＦＧ共６个．
解 以Ｂ为顶点的直角三角形（以Ａ为顶点的除外）有△ＢＣＥ、△ＢＣＦ、△ＢＤＧ、ＢＦＧ共４个．
以Ｃ为顶点的直角三角形有（以Ａ、Ｂ为顶点的除外） △ＣＤＧ，△ＣＥＧ共２个．
此外，以Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ为顶点直角三角形（以Ａ、Ｂ、Ｃ为顶点除外）没有了，故共有直角三角形６＋４＋２＝１２个．
例６ 如图１１，△ＡＢＣ三条中线ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ交于Ｇ．求△ＧＢＣ与四边形ＡＦＧＥ的面积比
．
图１１
分析 充分利用中线分三角形所成的两个三角形等底共高，面积相等． 解 记图中六个小三角形面积为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４，Ｓ５，Ｓ６
ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ为中线 ∴Ｓ１＝Ｓ２ Ｓ３＝Ｓ４ Ｓ５＝Ｓ６
又Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＝Ｓ４＋Ｓ５＋Ｓ６ ∴２Ｓ１＝２Ｓ６ ∴Ｓ１＝Ｓ２＝Ｓ５＝Ｓ６ 同理
Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ６＝Ｓ３＋Ｓ４＋Ｓ５． ２Ｓ１＝２Ｓ３ ∴Ｓ１＝Ｓ２＝Ｓ３＝Ｓ４ ∴Ｓ１＝Ｓ２＝Ｓ３＝Ｓ４＝Ｓ５＝Ｓ６ ∴
Ｓ△ＧＢＣＳ四边形ＡＦＧＥ
＝
Ｓ３＋Ｓ４
＝１ ∴面积比为１∶１
Ｓ１＋Ｓ６
【典型热点考题】
例１ 判断：三角形角平分线是射线（×） 结论：说法不对．三角形角平分线为线段．
例２ 选择：若三角形的两条高的交点不在形内，则三个内角中最大的一个内角 Ａ．大于９０° Ｂ．不大于９０° Ｃ．小于９０° Ｄ．不小于９０° 答案：Ｄ．
分析 由三条高作图的状况（图４～６）可知，三内角中有一个角为９０°时交点在形上（直
４
角顶点）有一个角为钝角时交点在形外．而均为锐角时交点在形内．而不在形内含形上和形外两种情况．
例３ 如图１２，ＡＤ为△ＡＢＣ的中线，Ｅ、Ｆ在ＡＤ上，且ＢＦ为△ＡＢＥ中线，ＢＥ为△ＢＦＤ的中线，ＢＦ、ＢＥ的延长线交ＡＣ于Ｇ，Ｈ． △ＡＢＣ面积为１．求四边形ＨＥＤＣ的面积
．
图１２
分析 题中若干中线，分得若干等底共高的三角形．可利用这些关系求出所需面积．又注意ＢＦ，ＢＥ两条中线有ＡＦ＝ＥＦ＝ＤＥ． △ＡＢＦ，△ＢＦＥ，△ＢＥＤ等底同高，面积相等，△ＡＢＤ和ＶＡＤＣ等底共高面积相等．
１
解 ∵Ｓ△ＡＢＣ＝１，ＡＤ为中线， ∴Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＣＤ＝
２
１１１
又ＡＦ＝ＦＥ＝ＥＤ ∴Ｓ△ＡＢＦ＝Ｓ△ＢＦＥ＝Ｓ△ＢＥＤ＝⨯＝
２３６
连ＤＨ，ＦＨ．则△ＡＦＨ，△ＥＦＨ，△ＤＥＨ等底 （ＡＦ＝ＦＥ＝ＥＤ）共高（Ｈ向ＡＤ作的垂线段） ∴设Ｓ△ＡＦＨ＝Ｓ△ＥＦＨ＝Ｓ△ＤＥＨ＝ｘ，Ｓ△ＨＤＣ＝ｙ 又ＢＤ＝ＤＣ ∴Ｓ△ＨＢＤ＝Ｓ△ＨＤＣ
１⎧
ｙ＝ｘ＋⎪６⎪⎪１⎧ ｘ＝⎨⎪１１１１⎪１２⎪３ｘ＋ｙ＝ 得⎨ＳＨＥＤＣ＝＋＝⎪１２１２４３⎪ｙ＝⎪⎪４⎩⎩
五．课堂小结
１．与三角形相关的一些概念。 ２．三角形的几条重要线段。
六．作业：
５